軍事數學  廟算之妙(上)

很多次跟別人介紹到孫子兵法這本書時，我說第一章叫「廟算」(註一)，聽的人常常會誤想為「妙算」，因為他們通常會認為兵法奇書的第一章，一定是在介紹什麼神妙之術，奇巧之計。但是事實上，孫子兵法的第一章，是在說明算數學的重要，所謂的「廟算」就是找大家到宗廟裡好好算算數學，看看這個仗能不能打的起來。而軍事數學聽起來很高深，但是其實每個人都會算，加減乘除而已。舉個簡單的例子，每年春節從台灣到金門、馬祖的返鄉機票就一位難求，旅客每年罵，每年還是一樣。而這個問題的原因，其實用數學就可以算得出來。

因為離島機場較小，跑道無法起降大型客機，所以一次的載運量就極有限，就以目前最常見的50人座小客機為例，一次的降落從確認清空跑道，飛機調整飛行姿態準備進場，塔台准許降落，飛機開始觸地滾行，最後滑行離開跑道，大約需要20分鐘，那就可以算出只有一條跑道的離島機場，一個小時只能落下三班，疏運150人次。離島機場通常沒有夜航設備，只能在白天開場運作，就算是最近剛裝了夜航設備的金門機場，能一天24小時都不關場，飛機不斷排隊落地，也只能疏運3600人。在春節的運輸高峰期，也就是開始放假的除夕前二天，撐死也只能疏運7200人，而上萬的金門旅外遊子要趕著在這二天中回家過年，當然機票會一票難求。而這還不算說金門機場也會有起飛的航班佔用跑道，各種天候情況能不能符合飛行要求，且機場能不能24小時運作的問題。所以真正在春節前夕二天，金門機場一條跑道能疏運的旅客，遠比7200人這個預估數字還要小很多。那也許有人會問，為什麼不要多蓋幾條跑道，就一勞永逸解決這個問題了。但是問題在一年裡面，也只有春節這幾天，有這麼大的疏運量，平日各離島的固定航班都還坐不滿，若為了這個原因而加蓋機場，一年只用的上一回，完全不符合經濟效益。

所以一條跑道一天可以運多少人，其最大值是固定的，因為受目前的科技能力所限制，而不止台灣的機場受到科技限制，其實全世界的陸軍、海軍、空軍都受到一樣的科技限制，所以很多東西都用數學就能推算出來。比如一架俄制的Il-76運輸機，一次能運送120名全副武裝的傘兵，那就需要一百多架的Il-76運輸機才能運送一個滿編約一萬三仟人的空降師，而這還不包括還要空投更佔空間的BMP步兵裝甲車。但是目前中國解放軍手上的Il-76(註二)與運七、運八、運九、An-12等機種雖然繁多，但是扣掉各種非運輸用的衍生型，可以實旅傘降的運輸機全加起來打死也就接近一百架左右的數量(註三)，而運七、運八、運九的酬載量還遠遠不及Il-76。所以某報說下轄二個空降師的空降十五軍，能在開戰的第一時間將二個師同時空投在南北兩個戰區，那其中有三分之二的傘兵大概是坐飛碟來的吧。以一個例子來作對比，史上最大規模的空降作戰，也就是在市場花園行動裡，總計空降了近二萬名的傘兵，行動中總共出動了1545架的運輸機，並拖曳了478架的運兵滑翔機，護航的戰機有1131架，參與作戰的正式或臨時空軍基地有24個，這幾乎是當時盟軍各國在歐洲戰區的所有空中運輸能量總合。雖然今日空中運輸機的酬載量遠比二戰時期的運輸機還有大上許多，但是從過去市場花園作戰的經驗，就知道如果要空降下轄二個師，滿編近三萬人的解放軍空十五軍，那所需要的運輸機數量，絕對是個驚人的數目。還可能要動用中國沿海所有的空軍基地，因為我們在上個例子裡，已經用金門機場的例子說明了為什麼每一條跑道的最大單位時間裡運輸量是有限制的了。

也因我們可以想定，解放軍的空降攻勢，絕對不可能會是一次三萬人的超級大跳傘，反而是會分成數批，在第一批傘降後，沒有被擊落的運輸機再飛回機場加油整備，讓下一批的傘兵登機，再次飛越海峽進行傘降。稍微計算一下，就知道每批的最大可能空投傘降人數，與下一波再來的時間。防衛的重點也不應該是規畫必需一次面對三萬名的傘兵，反而是該規畫如何快速圍殲每次空投下來的傘兵部隊，並且加強地對空飛彈部隊與空軍獵殺敵方運輸機機群的能力，只要能攻擊只有百架之數的空中運輸機機隊，接下來敵方能載運的空降隊部就會越來越少。而每一波要投入足夠數量的傘兵，勢必出動龐大的機群，在這個大家都有長程預警雷達、預警機機隊的時代，這不可能不被發現，也因此所謂的三萬傘兵一起朝發夕至，同時南北空降突襲本島的說法，其實是數學不及格的人所講出來的夢話(註四)。當然，有憤青一定會說，傘兵空降時，中國的二炮部隊已經萬彈齊發，台灣的大小雷達與機場都已經無法運作了。但是這樣的說法問題在那裡，我們明天再來算數學。(未完待續)

  

註一:原來的孫中兵法是沒有篇名的，後人將本文分為13篇，並將每篇加上篇名，並流傳到今天，並成為約定俗成的版本。其中廟算中的「廟」，指的是皇室的宗廟，用以祭祀皇室祖先。過去凡國家有大事，皇帝必需與重臣到宗廟向祖先靈位燃香稟告，也就會順便在宗廟裡與重臣繼續商議這些大事。久而久之，廟議成為古代中國王朝重大國是會議的代名詞。台灣原住民也有類似風俗，在商議重大事項時，由長老在祖靈前告知所議之事，祈求祖靈保祐，並在祖靈前議決大事。

註二:中國目前有17架的Il-76型運輸機，扣除改裝為預警機與加油機的數量，目前可以用以從事運輸空投的應該不到13架。在數年前中國曾經向俄國求購30架的Il-76型運輸機，但是後來因為合約的爭議，目前生產線停工中，雖然陸續有傳出兩方有在繼續磋商，但是目前似乎仍然沒有共識。而求購俄製大型運輸機受挫，也是近年來中國盛傳將要重啟重型運輸發展計畫的主因。

註三:運七、運八、運九的總生產數量超過百架，但是已有許多改裝為其它用途，已經無法實施空運任務。

註四:其實中國本身也知道這個問題，在網路上搜索關鍵字「中國  運輸機  不足」，就可以看到許多的中國本身的文章報導談及此事，只是中國官方與配合的台灣媒體在威嚇台灣百姓時，故意不會去談到這個問題。





昨天的軍事數學  廟算之妙(下)

依解放軍的二炮部隊編制，一個發射系統依彈種的不同，會搭配6~8枚戰術彈道導彈，再填裝的時間為45分鐘至60分鐘。料敵從寬，就算一個發射架搭配6枚飛彈，再填裝時間如CCTV的新聞稿所說，只要30分鐘。那就算有1200枚的飛彈，第一波能發起的攻擊的飛彈數目也就只有200枚。再料敵從寬，除了繼續增加的彈術彈道飛彈以外，再加入已經開始部署的巡弋飛彈，總計1800枚好了，那第一波的攻擊飛彈數目將是300枚。台灣空軍目前有十個軍用機場，包括新竹、台中、嘉義、台南、屏東、台東、花蓮、澎湖、高雄、松山(註五)，那就算平均一個空軍基地會「分配」到30枚飛彈好了。台灣空軍基地多數有雙跑道設計，加上滑行道，還有的基地有備用老跑道，不是只有一條跑道，而且跑道很長，那是為了讓大型運輸機起降才會有這麼長的跑道，但是今日的戰機起飛並不需要用到那麼長的跑道，在緊急情況下，通常只要跑道全長的三分之一，甚至四分之一就能起降。因此這30枚飛彈要將一個空軍基地內可能起降的二條跑道，甚至三條跑道(註六)，還有備用滑行道全炸的柔腸寸斷，才能阻止戰機起飛。不然只炸了幾個大洞，根本無濟於事。因為戰機可以從別的地方起飛。而且跑道形狀極其細長，並不是一個容易瞄準的目標，再加上戰術彈道飛彈不是百發百中，還要算上平均的發射失敗率與圓周半徑誤差率(CEP)，在CEP < 50公尺的情況下，若飛彈是向跑道左右兩側偏移，則這枚無法直接命中跑道表面的飛彈，能造成的破壞就會極其有限。


文章走筆至此，細心的讀者可能發現筆者跑題了。前文不是在說戰術彈道飛彈要如何壓制防空飛彈與預警雷達，好讓運輸機群實行傘降突襲作戰嗎??怎麼扯到攻擊空軍基地了。那如果要同時再壓制防空飛彈與預警雷達，不是又要分出一些飛彈來攻擊這些目標嗎??特別是台灣的防空飛彈多數是移動陣地(註七)，一但遭到攻擊就會移入備用陣地，因此更不容易在一開始就鎖定攻擊目標。而長程預警雷達台灣有好幾套，有超大型固定式的，也有小一點可以機動移防的，更有備用的。中高空防空飛彈系統在北、中、南有好幾套，鷹式防空飛彈更多。還有空軍的戰管雷達系統，也不只一套，還有海軍的雷達系統，也不只一套。這樣算一算，其實要攻擊的預警雷達系統與防空飛彈目標也有四、五十處啊。如果不把這些先清乾淨，那笨重的大型運輸機可以說是地面防空飛彈的活靶。此外還先不計入射程較短的野戰防空飛彈與快炮系統。那在第一波攻擊中的三百枚飛彈恐怕無法完全壓制這些雷達與防空系統，而且別忘了，不是說還要讓台灣的空軍基地都變成火海嗎??就算再加一倍，第一波攻擊就算能有六百枚飛彈，要同時壓制台灣的空軍基地與預警、防空系統，恐怕也是非常困難。

此外目前中國的短程戰術彈道飛彈，依型號與新舊出廠年份的不同，一般認為其CEP值介於300公尺到100公尺之間，雖然有傳出少部份曾經接受精確度改良，CEP可縮小到50公尺，但是因為價錢昂貴，其數量並不多，但是料敵從寬，目前台灣各種軍事刊物或國防部自己的新聞稿在計算這些戰損時，都是以發射成功率百分之百，且所有飛彈的CEP都小於50公尺作計算。但是由於空軍基地的跑道是很細長的，與多數的軍事陣地的目標性質有很大的不相同，在半徑50公尺的圓裡，要直接命中這個細長目標的機率更小，也因此雖然有些飛彈成功擊中目標區，誤差也在50公尺內，但是如果沒有直接命中跑道，這樣的「擊中」對破壞跑道也沒有多大的功用。比如一顆飛彈落在跑道中心右方30公尺處，炸了一個半徑10公尺寬的大洞，這樣就統計上，這枚飛彈算是命中目標，但是其實根本沒有炸到跑道，了不起就是飛起的石塊會暫時阻礙跑道，只要地勤人員將這些異物排除，就能恢復跑道的使用。

而且很多人不知道，所謂的CEP(圓周半徑誤差率)<50公尺，指的是「同時發射兩枚飛彈，有一枚可以命中半徑在50公尺大小的目標區」，並不是指每一枚飛彈都能命中半徑50公尺的目標。也就是說，朝台灣的空軍基地發射30枚的短程的戰術彈道飛彈，機率上能命中預設50公尺半徑目標區的飛彈，只有15枚。至於剩下的15枚會打到那裡，就要看運氣了。而且事實上，飛彈的發射並不是百分之百會成功，特別是彈道飛彈，若有九成以上的發射成功率就算極高的值了，只有八成也不令人吃驚。九六年台海飛彈危機時，中國二炮部隊總共發射六枚飛彈，就有一枚掉在中國福建南平境內，發射成功率是83.33%，尚在合理範圍。也因此算算數學後，就會發現其實短程彈道飛彈的危脅其實還沒有巡弋飛彈與Su-30MKK/MK2戰鬥轟炸機來的大。(未完待續)

  

註五:其中新竹、台中、嘉義、台南、台東、花蓮有常駐的戰術戰鬥機聯隊，屏東為預警機與運輸機基地。澎湖平日就有各聯隊輪派的作戰分隊進駐。高雄則為空軍官校，平日是教訓機與對地攻擊機的基地。松山機場為空軍松山指揮部所在地，平日並無戰機進駐，但是在進入戰時警戒時，依照疏散計畫，屏東基地、空軍官校與松山指揮部都會有戰機進入，以分散部署增加地面戰機的存活率。

註六:除了雙跑道以外，有的基地還有雙機場，有興趣的可以在Google map裡找一下衛星圖，研究一下這麼長的跑道要幾枚飛彈才能摧毀。

註七:愛國者飛彈系統與鷹式飛彈系統都是非常容易機動移防的。好啦，天弓飛彈系統的長白雷達車是有點笨重，但是也還不到拖不走的地步。唯一是固定陣地的只有部份採地窖發射的天弓飛彈系統。但是這些飛彈躲在地窖中，更不易攻擊。




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相信能耐心的把上文看完的人不多，但是如果真的看完，我想阁下对数学的应用会有一个新的认识。数学对于军事而言，除了地球人都知道的密码破译，弹道学什么的，实际用的最多的就是用数学模型，运用类似运筹学的方法来分析战场环境。实际也就是和大型企业一样，一个是算这笔生意做下来合算不合算，一个是算这场仗能打不能大。那个吹的很牛的兰德美国智库，一开始也是基于兰切斯特常微分方程构建的机械化战争数学模型来分析近现代战争规律，当然现在建模分析的多了，譬如用虚拟现实技术实现的仿真军事训练系统，大飞机设计，还有兵器推演的计算机实现，等都是数学建模在起作用。

当然我们也不要过分迷恋数学建模，因为建模过程中有对现实对象的理想化和简单化的处理，所以一旦将建模的分析结论应用于实际问题，就回到了现实，就要考虑被忽略和简化的要素，于是得出的结论只是相对的和近似的，当然还有有的现实问题不能构建出数学模型，这样也就不能全部依赖数学建模这个工具了.比较明显的例子就是兰德公司预测朝鲜战争中中国的态度。但是不管怎么说，数学建模能使我们明细了很多问题的一般性和基本性的规律。

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• Leinuo的延续 金币 +14 回复认真，鼓励！ 2012-2-20 15:02

军事数学对军队正规化，现代化建设的做用是无庸置疑的，只是任何东西都不是十全十美的，不能滥用。